Предыдущая страница !![]() |
Содержание | ![]() |
В электрических цепях возможны
включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи,
различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно
представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается
в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить,
замыкается или размыкается рубильник.
При коммутации в цепи возникают переходные
процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося
значения к другому.
Изменения токов и напряжений вызывают
одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с
элементами цепи - емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля
и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как
скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности.
На этом рассуждении основаны законы коммутации.
Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации
iL (0+) = iL (0-),
где iL (0+) - ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+" в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации;Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации.
uC (0+) = uC (0-),
где uC (0+) - напряжение на емкости в момент коммутации;Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.
В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.
.
Свободный ток определяют по формуле:
.
Короткое замыкание в R-L цепи
На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.
Определим закон изменения тока в индуктивности
после коммутации.
Принужденный ток после коммутации замыкается
через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный
ток имеет только свободную составляющую
Магнитное поле, исчезая, индуктирует в
индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой
электродвижущей силы.
Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты
Производная
Подставим значения свободного тока и производной
тока в уравнение (8.1)
Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1),
называется характеристическим.
Постоянную интегрирования А определяем с помощью
начального условия.
В соответствии с первым законом коммутации,
Получим Напряжение на индуктивности
Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС
В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут.
В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь
к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).
Принужденный ток в установившемся режиме после
коммутации
В свободном режиме из схемы исключен внешний
источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы
на рис. 8.1.
До коммутации рубильник был разомкнут, и ток
в схеме отсутствовал.
Напряжение на индуктивности
На рис. 8.4 изображены кривые переходного,
принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.
Короткое замыкание в R-C цепи
В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации
рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
Ток через конденсатор Получим дифференциальное уравнение
Решение этого уравнения Подставим значение свободного напряжения и производной от
напряжения Уравнение
Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС
Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен,
напряжение на нем uc(0-) = 0.
Переходное напряжение
В момент коммутации Переходное напряжение
Переходный ток
До коммутации по индуктивности протекал ток
Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.
Рис. 8.1
В соответствии с классическим методом
Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя
второй закон Кирхгофа.
(8.1)
.
.
(8.2)
- корень
характеристического уравнения.
- постоянная
времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ - это интервал
времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.
.
.
.
На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в
ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение
по экспоненте стремятся к нулю.
В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный
(4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.
Рис. 8.2
.
.
Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента
коммутации, (t = 0).
,
откуда .
Рис. 8.3
Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.
.
.
.
.
Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля.
В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает,
приближаясь к установившемуся постоянному значению.
Рис. 8.4
До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения,
равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью
разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на
конденсаторе равны нулю.
В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного
конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону
Кирхгофа
.
Рис. 8.5
.
. (8.3)
.
в уравнение (8.3).
.
называется
характеристическим.
- корень
характеристического уравнения;
- постоянная
времени переходного процесса;
Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному
закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).
Рис. 8.6
В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью
заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания
ucпр= E.
.
.
Постоянная интегрирования
.
В соответствии со вторым законом коммутации
.
.
Рис. 8.7 .
.
Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.
Рис. 8.8
Предыдущая страница !![]() |
Содержание | ![]() |