Предыдущая страница !![]() |
Содержание | ![]() |
При последовательном соединении сопротивления R,
катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9).
Дифференциальное уравнение для тока в контуре
.
После дифференцирования по t и деления на L получим
.
(8.4)
Решение уравнения (8.4) равно сумме принужденной и свободной составляющих
.
В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю,
так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока.
Рис. 8.9
Свободная составляющая является общим решением уравнения
. (8.5)
Пусть
,
,
.
После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение
.
Характеристическое уравнение имеет два корня
,
где
- коэффициент затухания;
- угловая резонансная частота контура без потерь.
Получим
.
Вид корней зависит от отношения
,
где -
характеристическое или волновое сопротивление контура;
- добротность контура.
Колебательный режим
Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P1,2 - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае
,
,
,
,
где -
угловая частота собственных колебаний в контуре;
- период собственных колебаний.
Ток в цепи
, (8.6)
где А и φ - постоянные интегрирования.
До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю
.
Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности
. (8.7)
где -
напряжение на индуктивности в момент коммутации, является зависимым начальным условием.
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для момента коммутации, чтобы определить
зависимое начальное условие
.
.
До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому
.
Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений
(8.8)
Решив систему (8.8), определим
.
На рис. 8.10 приведена кривая изменения тока в контуре при подключении
к нему источника постоянной ЭДС. Из рисунка видно, что колебания в контуре затухают по
показательному закону из-за потерь электрической энергии в сопротивлении R.
Затухание происходит тем медленнее, чем меньше коэффициент затухания
α .
Рис. 8.10
Постоянная времени переходного процесса
.
При малом коэффициенте затухания величина
ωС незначительно отличается от резонансной частоты ω0.
Относительное затухание колебаний характеризуется декрементом затухания, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период.
.
Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания
.
Для контура с небольшим затуханием, когда
Апериодический режим в R-L-C контуре
наблюдается при большом затухании, когда . В этом случае
корни P1,2 вещественные, отрицательные, различные.
Свободный ток определяется по формуле
. (8.9)
Напряжение на индуктивности
. (8.10)
Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений
Решив эту систему, определим постоянные интегрирования
.
Выражение для тока в контуре
состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P1 и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P2 (рис. 8.11).
Ток получается неколебательным, он не принимает
отрицательных значений, то есть не меняет своего направления.
На границе между колебательным и апериодическим
режимом при
наблюдается предельный случай
апериодического процесса.
Рис. 8.11
Предыдущая страница !![]() |
Содержание | ![]() |